Basic signals of control system

1. Basic idea of impulse and its Laplace: 

आवेग और उसकी जगह का बुनियादी विचार:

नमस्कार दोस्तों, आज हम आवेग और उसकी जगह (Basic idea of impulse and its Laplace ) के बारे में बात करेंगे। आवेग (Impulse) का मतलब है किसी भी सिग्नल को कुछ समय के लिए प्रभावित करना। आवेग सिग्नल को एक प्रकार का प्रेरक (motivation) माना जाता है, जो किसी सिस्टम को प्रेरित करता है।

आवेग सिग्नल का प्रतिनिधित्व (Representation)  करने के लिए हमें एक आवेग समारोह (impulse function) की जरूरत होती है। आवेग समारोह (impulse function) को δ(t) से प्रतिनिधित्व किया जाता है, जो कि t=0 पर 1 होता है, और t≠0 पर 0 होता है।

आवेग समारोह (impulse function) की कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं:

• f(t)δ(t-t0) = f(t0)δ(t-t0)

आवेग समारोह (impulse function) की जगह (Laplace transform) को L{δ(t)} से प्रतिनिधित्व किया जाता है, जो कि s परिपथ (s-domain) में समारोह को परिवर्तित करता है।

L{δ(t)} = ∫δ(t)e^(-st)dt

= e^(-s*0)

= 1

Graph:

इस प्रकार, हमने देखा कि आवेग समारोह की जगह 1 होती है, जो समारोह की संप्रति (property) को प्रकाश में लाती है।

नमस्कार दोस्तों, आज हम यूनिट स्टेप फंक्शन और उसके लाप्लास ट्रांसफॉर्म के बारे में बात करेंगे। 

यूनिट स्टेप फंक्शन एक ऐसा फंक्शन है जो किसी समय t पर किसी संख्या a के समान या उससे बड़ा होने पर 1 का मान लेता है, और किसी समय t पर किसी संख्या a से कम होने पर 0 का मान लेता है।

इसका मतलब है कि y = u(t-a) के लिए,

y = 0, t < a

y = 1, t ≥ a

इसका ग्राफ कुछ ऐसा होता है:

यहाँ पर a = 0 है, लेकिन हम a को किसी भी मान पर स्थानांतरित कर सकते हैं।

3. Basic idea of ramp and its Laplace:

रैम्प फ़ंक्शन और उसका लाप्लास ट्रांसफॉर्म का बुनियादी विचार:

रैम्प फ़ंक्शन एक प्रकार का संकेत है, जो समय के साथ बढ़ता है। इसे R (t) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां t समय है।

रैम्प फ़ंक्शन का ग्राफ़ कुछ ऐसा होता है:

रैम्प फ़ंक्शन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म (Laplace transform) एक मैथेमेटिकल तकनीक है, जो समय के साथ परिवर्तित होने वाले संकेतों को समझने में मदद करती है।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म को L {R (t)} के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है, जहां L {} एक संकेत पर क्रिया करने का प्रतीक है।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म की परिभाषा कुछ ऐसी होती है:

L {R (t)} = ∫0∞ R (t) e^(-st) dt

जहां s एक परिवर्तनीय है, जो संकेत की प्रतिक्रिया को प्रभावित करता है।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म की मदद से, हम समय के साथ परिवर्तित होने वाले संकेतों को s-प्रतिरूप (s-domain) में परिवर्तित कर सकते हैं, जहां संकेतों को सरलता से प्रस्तुत किया जा सकता है।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म के मुख्य प्रयोगों में से एक है, संकेतों की प्रतिक्रिया (response) को मोडल (model) करना, जैसे कि संकेतों की महत्वपूर्ण सुविधाओं (features) को पहचानना, संकेतों में मौजूद शोर (noise) को हटाना, संकेतों में मुहुर (filter) का प्रयोग करना, आदि।